1. Логарифм. теңдеуіне, және қайта оралайық. Алдыңғы бапта көрсетілгендей, бұл теңдеудің болғанда шешімдері болмайды, тек болғанда жалғыз ғана түбірі болады. Сол түбірді болатын санының логарифмі деп атайды және былай белгілейді яғни

Анықтама. санының негізі болғандағы логарифмі дегеніміз - саны шығу үшін негіз шығарылатын дәреже көрсеткіш.
(мұндағы , және ) теңбе-теңдігін негізгі логарифмдік теңбе-теңдік деп атайды.
1-мысал. Мәнін табайық: а) б)
а) екені белгілі, яғни 32 санын шығарып алу үшін 2-ні бесінші дәрежеге шығару керек. Олай болса,
б) екені белгілі, сондықтан
2-мысал. негізі бойынша санының логарифмін табайық.
екені белгілі. Сондықтан логарифмнің анықтамасы бойынша
3-мысал. Мынадай шарттан х санын табайық:
а)
б) яғни бұдан
2. Логарифмдердің негізгі қасиеттері. Логарифмдермен істес болғанда көрсеткіштік функцияның қасиеттерінен туындайтын олардың мынадай қасиеттері қолданылады:
Кез келген ( ) және кез келген оң х пен у мәндерінде мына теңдіктер орындалады.

Кез келген нақты р саны үшін.
-ережені дәлелдеу үшін негізгі логарифмдік теңдікті пайдаланамыз:

Бұл теңдіктерді мүшелеп көбейтіп, табатынымыз:

Яғни . Олай болса, логарифмнің анықтамасы бойынша
Қысқаша: көбейтіндінің логарифмі көбейткіштер логарифмдерінің қосындысына тең болады дейді.
-ережені (1) теңдіктердің көмегімен қайтадан дәлелдейік:

Олай болса, анықтама бойынша
Қысқаша: бөліндінің логарифмі бөлінгіш пен бөлгіш логарифмдерінің айырымына тең болады дейді.
-ережені дәлелдеу үшін теңбе-теңдігін пайдаланамыз, бұдан Олай болса, анықтама бойынша
Қысқаша: дәреженің логарифмі осы дәреженің көрсеткіші мен сол дәреже негізі логарифмінің көбейтіндісіне тең болады дейді.
Логарифмдердің негізгі қасиеттері логарифм енетін өрнектерді түрлендіру барысында кеңінен қолданылады. Мысалы, логарифмнің бір негізінен екіншісіне көшу формуласын дәлелдеп берейік:

Бұдан бұл формула теңдіктің екі жақ бөлігінің де мағынасы болғанда, яғни , және ( ), және болғанда ғана тура.
Дәрежені логарифмдеу ережесі мен негізгі логарифмдік теңбе теңдікті пайдаланып, мынаны табамыз:

Бұдан

Осы теңдіктің екі жағын да -ға бөліп, қажет формуланы шығарып аламыз. Қандай да бір негізі үшін, логарифмдер кестесі қолда бар болса, көшу формуласын пайдаланып, негізі кез келген а саны болатын логарифмнің мәнін таба аламыз. Ондық және натурал логарифмдердің кестесі аса көп қолданылады (10 негізі бойынша алынған логарифмді ондық логарифмдер деп атайды, ал натурал логарифмдермен сіздер 41-бапта танысасыздар).
4-мысал. 7-ін табайық.
Калькуляторды (немесе кестені) пайдаланып, мынаны табамыз:
және Олай болса, көшу формуласы бойынша
5-мысал. және екені белгілі. ін а мен арқылы өрнектейік.
Логарифмдердің негізгі қасиеттерін пайдаланып, мынаны табамыз.

6-мысал. өрнегінің 2 негізі бойынша логарифмін а мен сандарының негізі 2 болатын логарифмдері арқылы өрнектейік. (Қысқаша былай дейді: берілген өрнекті 2 негізі бойынша логарифмдейміз.)
Логарифмдердің негізгі қасиеттерін пайдаланып, мынаны табамыз:

7-мысал. Мына теңдіктен х-ті табайық.

Яғни сондықтан да
8-мысал. Өрнектің мәнін табайық
Логарифмдердің негізгі қасиеттерін пайдаланып, осы бөлшектің алымы мен бөлімін түрлендірейік:
Олай болса,